必修一
例题1. 学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛。问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
例题2. 二次函数根的分布
有一道题“若函数 \( f(x) = \frac{ax^2 4x - 1}{4} \) 在区间 \((-1, 1)\) 内恰有一个零点，求 \( a \) 的取值范围”，某个同学给出了如下解答：
由 \( f(-1) \cdot f(1) = (24 - 5a)(24 3a) < 0 \)，解得 \( -\frac{1}{5} < a < \frac{8}{24} \)。所以，实数 \( a \) 的取值范围是 \( \left( -\frac{1}{5}, \frac{8}{24} \right) \)。上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答。
例题3. 对数比大小
比较下列各题中三个值的大小：
（1）\( \log_{0.2} 6 \)，\( \log_{0.3} 6 \)，\( \log_{0.4} 6 \)；
（2）\( \log_2 3 \)，\( \log_3 4 \)，\( \log_4 5 \)。
例题4. 分段函数解析式
如图，\( \triangle OAB \) 是边长为2的正三角形，记 \( \triangle OAB \) 位于直线 \( x = t \)（\( t \in [0, \infty) \)）左侧的图形的面积为 \( f(t) \)，试求函数 \( y = f(t) \) 的解析式，并画出函数 \( y = f(t) \) 的图象。
必修二
例题5. 基本不等式应用
如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 \( ABCD \) 和 \( EFGH \) 构成的面积为 \( 200 \, \text{m}^2 \) 的十字形地域。计划在正方形 \( MNPQ \) 上建一座花坛，造价为420元/\( \text{m}^2 \)；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为21元/\( \text{m}^2 \)；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元/\( \text{m}^2 \)。设总造价为 \( S \)（单位：元），\( AD \) 长为 \( x \)（单位：m）。当 \( x \) 为何值时，\( S \) 最小？并求出这个最小值。
例题6. 基本不等式应用
设矩形 \( ABCD \)（\( AB > AD \)）的周长为24，把 \( \triangle ABC \) 沿 \( AC \) 向 \( \triangle ADC \) 折叠，\( AB \) 折过去后交 \( DC \) 于点 \( P \)，设 \( AB = x \)，求 \( \triangle ADP \) 的最大面积及相应 \( x \) 的值。
例题7. 基本不等式应用
一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客。你认为顾客购得的黄金是小于10g，等于10g，还是大于10g？为什么？
例题8. 函数零点大小
已知函数 \( f(x) = 2^x x \)，\( g(x) = \log_2 x x \)，\( h(x) = x^3 x \) 的零点分别为 \( a \)，\( b \)，\( c \)，则 \( a \)，\( b \)，\( c \) 的大小顺序为（ ）
A. \( a < c < b \)
B. \( c < b < a \)
C. \( b < a < c \)
D. \( b < c < a \)
例题9. 三角函数应用
如图，已知 \( OPQ \) 是半径为1，圆心角为 \( \frac{\pi}{3} \) 的扇形，\( C \) 是扇形弧上的动点，\( ABCD \) 是扇形的内接矩形。记 \( \angle COP = \alpha \)，求当角 \( \alpha \) 取何值时，矩形 \( ABCD \) 的面积最大？并求出这个最大面积。
例题10. 三角中的几何计算
在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle B = \frac{\pi}{4} \)，\( BC \) 边上的高等于 \( \frac{1}{3} BC \)，则 \( \cos A \) 等于（ ）
A. \( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)
B. \( \frac{\sqrt{10}}{10} \)
C. \( -\frac{\sqrt{10}}{10} \)
D. \( -\frac{3\sqrt{10}}{10} \)
例题11. 和差角公式
是否存在锐角 \( \alpha \)，\( \beta \)，使 \( \alpha \beta = \frac{2\pi}{3} \)，\( \tan \alpha \cdot \tan \beta = 2 - \sqrt{3} \) 同时成立？若存在，求出 \( \alpha \)，\( \beta \) 的度数；若不存在，请说明理由。
例题12. 投影向量
已知 \( \triangle ABC \) 的外接圆圆心 \( O \)，且 \( 2\vec{AO} = \vec{AB} \vec{AC} \)，\( |\vec{OA}| = |\vec{AB}| \)，则向量 \( \vec{BA} \) 在向量 \( \vec{BC} \) 上的投影向量为（ ）
A. \( \frac{1}{4} \vec{BC} \)
B. \( \frac{3}{4} \vec{BC} \)
C. \( -\frac{1}{4} \vec{BC} \)
D. \( -\frac{3}{4} \vec{BC} \)
例题13. 解三角形应用
如图，在山脚 \( A \) 测得出山顶 \( P \) 的仰角为 \( \alpha \)，沿倾斜角为 \( \beta \) 的斜坡向上走 \( a \) 米到 \( B \)，在 \( B \) 处测得山顶 \( P \) 的仰角为 \( \gamma \)，求证：山高 \( h = \frac{a \sin \alpha \sin (\gamma - \beta)}{\sin (\gamma - \alpha)} \)。
例题14. 数量积综合问题
已知 \( O \)，\( N \)，\( P \) 在 \( \triangle ABC \) 所在的平面内，且 \( |\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| \)，\( \vec{NA} \vec{NB} \vec{NC} = \vec{0} \)，\( \vec{PA} \cdot \vec{PB} = \vec{PB} \cdot \vec{PC} = \vec{PA} \cdot \vec{PC} \)，则 \( O \)，\( N \)，\( P \) 分别是 \( \triangle ABC \) 的（ ）
A. 重心，外心，垂心
B. 重心，外心，内心
C. 外心，重心，内心
D. 外心，重心，垂心
例题15. 三角中的几何计算
如图，直线 \( l \) 与 \( \triangle ABC \) 的边 \( AB \)，\( AC \) 分别相交于点 \( D \)，\( E \)。设 \( AB = c \)，\( BC = a \)，\( CA = b \)，\( \angle ADE = \theta \)，请用向量方法探究 \( \theta \) 与 \( \triangle ABC \) 的边和角之间的等量关系。
例题16. 复数的概念
已知复数 \( z_1 = m (4 - m^2)i \)（\( m \in \mathbb{R} \)），\( z_2 = 2\cos \theta (\lambda 3\sin \theta)i \)（\( \lambda \)，\( \theta \in \mathbb{R} \)），若 \( z_1 = z_2 \)，求 \( \lambda \) 的取值范围。
例题17. 空间几何体体积
如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 \( AA_1 = 8 \)。若侧面 \( AA_1B_1B \) 水平放置时，液面恰好过 \( AC \)，\( BC \)，\( AC_1 \)，\( BC_1 \) 的中点。当底面 \( ABC \) 水平放置时，液面高为______。
例题18. 证明三点共线
如图，已知 \( \triangle ABC \) 在平面 \( \alpha \) 外，其三边所在的直线满足 \( AB \cap \alpha = P \)，\( BC \cap \alpha = Q \)，\( AC \cap \alpha = R \)，求证：\( P \)，\( Q \)，\( R \) 三点共线。
例题19. 截面问题
一木块如图所示，点 \( P \) 在平面 \( VAC \) 内，过点 \( P \) 将木块锯开，使截面平行于直线 \( VB \) 和 \( AC \)，应该怎样画线？
例题20. 棱柱的结构特征
如图，透明塑料制成的长方体容器 \( ABCD-A_1B_1C_1D_1 \) 内灌进一些水，固定容器底面一边 \( BC \) 于地面上，再将容器倾斜。随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
① 有水的部分始终呈棱柱形；
② 没有水的部分始终呈棱柱形；
③ 水面 \( EFGH \) 所在四边形的面积为定值；
④ 棱 \( A_1D_1 \) 始终与水面所在平面平行；
⑤ 当容器倾斜如图3所示时，\( BE \cdot BF \) 是定值。
其中正确命题的个数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
例题21. 棱锥的体积问题
如图，一块边长10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积 \( V \)（单位：\( \text{cm}^3 \)）表示为 \( x \)（单位：cm）的函数为______。
例题22. 线线垂直
如图，一块正方体木料的上底面有一点 \( E \)，经过点 \( E \) 在上底面上画一条直线与 \( CE \) 垂直，怎样画？
例题23. 数量积应用
已知空间四边形 \( OABC \) 中，\( \vec{OA} = \vec{OB} \)，\( \vec{CA} = \vec{CB} \)，\( E \)，\( F \)，\( G \)，\( H \) 分别为 \( OA \)，\( OB \)，\( BC \)，\( CA \) 的中点，求证：四边形 \( EFGH \) 是矩形。
例题24. 点、直线到平面距离
如图，在棱长为1的正方体 \( ABCD-A_1B_1C_1D_1 \) 中，\( E \) 为线段 \( DD_1 \) 的中点，\( F \) 为线段 \( BB_1 \) 的中点。
（1）求点 \( A_1 \) 到直线 \( B_1E \) 的距离；
（2）求直线 \( FC \) 到直线 \( AE \) 的距离；
（3）求点 \( A_1 \) 到平面 \( AB_1E \) 的距离；
（4）求直线 \( FC \) 到平面 \( AB_1E \) 的距离。
例题25. 线面夹角
\( PA \)，\( PB \)，\( PC \) 是从 \( P \) 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线 \( PC \) 与平面 \( PAB \) 所成角的余弦值是（ ）
A. \( \frac{1}{2} \)
B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)
C. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)
D. \( \frac{\sqrt{6}}{3} \)
例题26. 夹角问题综合
如图，\( \triangle ABC \) 和 \( \triangle DBC \) 所在平面垂直，且 \( AB = BC = BD \)，\( \angle CBA = \angle DBC = 120^\circ \)。求：
（1）直线 \( AD \) 与直线 \( BC \) 所成角的大小；
（2）直线 \( AD \) 与平面 \( BCD \) 所成角的大小；
（3）平面 \( ABD \) 和平面 \( BDC \) 的夹角的余弦值。
例题27. 面面夹角
如图，二面角 \( \alpha - l - \beta \) 的棱上有两个点 \( A \)，\( B \)，线段 \( BD \) 与 \( AC \) 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 \( l \)。若 \( AB = 4 \)，\( AC = 6 \)，\( BD = 8 \)，\( CD = 2\sqrt{17} \)，求平面 \( \alpha \) 与平面 \( \beta \) 的夹角。
例题28. 求二面角
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 \( ABCD \)，\( ABEF \) 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子 \( M \)，\( N \) 分别在正方形对角线 \( AC \) 和 \( BF \) 上移动，且 \( CM \) 和 \( BN \) 的长度保持相等，记 \( CM = BN = a \)（\( 0 < a < 2 \)）。
（1）求 \( MN \) 的长；
（2）\( a \) 为何值时，\( MN \) 的长最小并求出最小值；
（3）当 \( MN \) 的长最小时，求平面 \( MNA \) 与平面 \( MNB \) 夹角的余弦值。
例题29. 等差数列通项公式
在等差数列 \( \{a_n\} \) 中，\( a_n = m \)，\( a_m = n \)，且 \( n \neq m \)，求 \( a_{m n} \)。
例题30. 等差数列前n项和
已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261。求此数列中间一项的值以及项数。
例题31. 前n项和求最值
已知数列 \( \{a_n\} \) 的通项公式为 \( a_n = \frac{n^2 - 2n - 15}{n} \)，前 \( n \) 项和为 \( S_n \)。求 \( S_n \) 取得最小值时 \( n \) 的值。
例题32. 等差数列前n项和
在小于100的正整数中共有多少个数被7除余2，这些数的和是多少？
例题33. 等差数列性质的应用
一个多边形的周长等于158cm，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44cm，公差等于3cm，求多边形的边数。
例题34. 等差数列通项
有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和。
例题35. 数列的函数特性
已知数列 \( \{a_n\} \) 的通项公式为 \( a_n = \frac{n^3}{3^n} \)，求使 \( a_n \) 取得最大值时 \( n \) 的值。
例题36. 分组求和法
已知数列 \( \{a_n\} \) 的首项 \( a_1 = 1 \)，且满足 \( a_{n 1} = 3a_n 2n \)。
（1）求证：\( \{a_n - 2^n\} \) 是等比数列；
（2）求数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项和 \( S_n \)。
例题37. 前n项积求最值
已知数列 \( \{a_n\} \) 为等比数列，\( a_1 = 1024 \)，公比 \( q = \frac{1}{2} \)。若 \( T_n \) 是数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( n \) 项积，则 \( T_n \) 的最大值为______。
例题38. 数列与不等式综合
已知数列 \( \{a_n\} \) 的首项 \( a_1 = \frac{3}{5} \)，且满足 \( a_{n 1} = \frac{3a_n}{2a_n 1} \)。
（1）求证：数列 \( \left\{ \frac{1}{a_n} - 1 \right\} \) 为等比数列；
（2）若 \( \frac{1}{a_1} \frac{1}{a_2} \cdots \frac{1}{a_n} < 100 \)，求满足条件的最大整数 \( n \)。
例题39. 数列应用
《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 \( \frac{1}{7} \) 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）
A. \( \frac{5}{3} \)
B. \( \frac{10}{3} \)
C. \( \frac{5}{6} \)
D. \( \frac{11}{6} \)
例题40. 排列组合-排队问题
要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，则不同的排法有______种。（用数字作答）
例题41. 排列组合-数字问题
（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？
**例题42. 排列组合-分配问题**
从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，问：
（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？
（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有多少种选法？
（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
例题43. 排列组合-分配问题
一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会。
（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？
（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？
例题44. 排列组合-涂色问题
如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ）
A. 120
B. 180
C. 221
D. 300
例题45. 排列组合-排队问题
甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次。甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军。”对乙说“你当然不会是最差。”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）
A. 27种
B. 36种
C. 54种
D. 72种
例题46. 二项式定理-求特定项系数
在 \( (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) \) 的展开式中，含 \( x^4 \) 的项的系数是______。
**例题47. 二项式定理-求特定项**
证明：
（1）\( \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2n} \) 的展开式中常数项是 \( \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n-1)}{2^n \cdot n!} \)；
（2）\( (1 x)^{2n} \) 的展开式的中间一项是 \( \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n-1)}{n!} \cdot 2^n x^n \)。
例题48. 二项式定理-整除法
用二项式定理证明：
（1）\( (n 1)^n - 1 \) 能被 \( n^2 \) 整除；
（2）\( 99^{10} - 1 \) 能被1000整除。
例题49. 归纳推理
（1）平面内有 \( n \) 条直线，其中没有两条平行，也没有三条交于一点，共有多少个交点？
（2）空间有 \( n \) 个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，一共有多少条交线？
例题50. 条件概率
两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%。将两批产品混合，从混合产品中任取1件。
（1）求这件产品是合格品的概率；
（2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率。
,
