这是数学思想部分的第2篇文章，在第一篇《数学得思想者得天下：常用数学基本思想（1）抽象思维》中，指出数学题目数量之巨，无论如何努力都不能穷尽，这就显示出数学思想在数学学习中的重要性。
我们以为的"数形结合数学思维"，其实是顶级人才的底层操作系统，神经科学研究显示，人类大脑处理图像的速度比文字快 6万倍。
那些善用数形结合思维的职场人，早已把数学课上的坐标系变成了有利的工具。产品经理的用户行为分析仪、医生的病灶三维沙盘、建筑师的空间效益计算器……
也许我们从学校毕业后，数学留在我们身心中，影响我们以后的工作和学习，其中最重要的思想中，数形结合一定是其中一个。
例如：把钱投进股市里，变成数字，一天天盯着看K线的炒股者，也就盯着一组随时间变化的资金的多多少少的变化图；
上班通勤，地铁和公交等路线选择和时间节约在大脑里将路线和大致时间的估计，其实就是一个简单的通勤可视化数形结合的应用；当然你如果用高德导航，更是一个智能化的数形结合的工具。
出游去某一个地方，在纸上简单的涂涂写写所做的预算和路线等行动攻略就是一个可视化的数形应用；
我们在公司里开会或正在图书馆学习，记录的使用思维导图替代线性记录，这本质上是构建信息之间的空间关系的图形化；
健身人士在记录体重（x）、体脂（y）、运动量（z）的关联变化，本质是一个三维坐标系的数形对应；
电商平台数据分析师通过绘制用户点击热力分布图，例如发现65%的用户在APP首屏呈现"F型"视觉轨迹，重构页面布局后转化率提升16%。这本质上是将用户行为数据翻译为空间坐标系的图形化呈现。
数学中最古老最原始的概念就是"数"(自然数)和"形"(简单几何图形),他们的形成和发展也是数学思想的开端.数和形是作为主体的人认识现实世界的反映,是人的思维产物。
在我国传统数学上,本质上并不存在代数和几何的严格区分,在绝大多数情况下,两者是结合在一起的,常常这两方面的问题,方法,相关概念都交织在一起。
我国现存比较古老的数学经典专著《九章算术》及其刘徽注的方田章中,对于几何图形的面积和体积计算过程都充分体现了数学的数形结合思想.而刘徽对《九章算术》作注时,在几何方面,首创以盈补虚,出入相补原理推导其它多边形的面积公式.
在我国传统数学上,本质上并不存在代数和几何的严格区分,在绝大多数情况下,两者是结合在一起的,常常这两方面的问题,方法,相关概念都交织在一起。
在西方，早些时期如古希腊时期虽然以几何为主导，但是诸如古希腊数学家如欧几里得、阿基米德等通过几何图形研究数学问题，用几何方法解决代数方程。 毕达哥拉斯学派用面积拼图法证明勾股定理，这也就是数形结合的早期雏形。
利用”拼补“证明勾股定理
而后续就迎来了17世纪天才数学家笛卡尔（Descartes）和费马（Fermat）创立坐标系，“点⇌坐标”对应，直线、圆等图形可用方程表示，将代数方程与几何曲线统一。
18-19世纪，也应该说是数形的深化阶段，牛顿、莱布尼茨利用几何直观研究函数变化率（导数）和积分（面积）。
直线与圆等，这些知识也就是我们在高中《人教A版教材选修1》中学习到的《解析几何》将几何圆转化为代数关系。而导数变化率在《人教A版教材选修2》中学习；积分现行的教材没有涉及。
再后来，高斯提出复数平面的概念，将复数 z= a bi 对应到平面点 (a,b) ……
不过在现代的教育中，数形结合成为数学课程标准的核心思想，贯穿从小学到大学，从小学的数的认识、函数图像、向量运算，当然平面几何、立体几何更是不用多言。
皮皮小朋友的作业
三、 数形结合在中学数学中的应用举例数学中最古老最原始的概念就是"数"(自然数)和"形"(简单几何图形),而数形结合在数学学习和应用中有着极为重要的作用，就如华罗庚所言：
“数与形，本是相偎依，焉能分作两边飞？
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”
华老所言正是数形结合的精髓。将抽象的代数问题转化为直观图形，把复杂的几何关系翻译成数学公式，如同为思维装上双引擎。
数形结合能将“数”的概括性、抽象化特点与“形”的具体化、形象化特点结合，这也是学习数学解题的基本策略之一。
将几何问题转化为代数问题，以及代数问题转为几何问题的跨越，既能发挥代数的优势也可充分利用集合的直观，极大的提升解题的速度，让一些复杂计算秒变"看图说话"，同时也提升了代数推理与空间想象的双重能力，数形结合的考察的题目，是中高考的所看重的“宠儿”，逢考必有数形结合的题。
1.数形结合能够作为函数问题的“透视眼”。
例如2024年数学高考试卷-全国Ⅰ卷中的第七题：
解析如图所示：（图片来自人教A版《高中数学·选修二》p237）
由图显而易见，在[0,2π]之间有6个交点，选择C选项。
在例题函数sinx=2sin(3x-π/6)的解的个数问题变成了两个函数线的交点问题，题目本身的问法就已经是进行了转化后的问题，引导学生进行画图处理，比较温和，当属简单题，采用五点法画图后交点个数，即方程sinx-2sin(3x-π/6)=0的个数问题就一目了然了。
再看几个静态的关于图形的证明问题：
（1）均值不等式：(a b)/2≥√ab
（2）乘法分配率：
（3）平方和公式：
（4）利用”拼补“证明勾股定理
可以看下最经典的勾股证明的动态展示：
（5）三角公式
(6)柯西不等式，利用直观的图形面积来让问题显性化。
(7)柯西不等式的图形证明2:
(8)半角公式的证明
(9)经典的A^B与B^A（e≤A<B）的比大小
2.当数形结合也可以作为"空间定位仪"
再看看作为最值求解的利器例子，首先拿个初中的问题来作为例子：
可以做以下分析：
(1)由正方形的性质可得点 A 是点 C 关于 BD 的对称点，连接 AE，则 AE 就是 EP CP 的最小值；
(2)找点 C 关于 x 轴的对称点 C′，连接 AC′，则 AC′与 x 轴的交点即为点 D 的位置，先求出直线AC′的解析式，继而可得出点 D 的坐标;
(3)分别作点 A 关于 OM 的对称点 A′、关于 ON 的对称点 A″，连接 A′A″，则 A′A″与 OM 交点为点 B 的位置，与 ON 交点为 C 的位置．
具体求解如下：
再看一道简单的求值域问题
看似复杂的根式，实则可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(-2,1)到点P（x，0）距离之差。几何意义转化后，可以得出答案。
具体求解如下：
3.数形结合是几何问题的“代数手术刀”
例如： 证明"三角形三高交于一点"
如下两种证明方法比较常见，是比较常规的几何方法来证明
而本题如果采用建立坐标系，将几何问题转化为直线的交点，通过联立方程组用代数方法验证就可以用烦杂的几何特征中跳出，变为简单的代数运算了。
具体实现路径：设三点坐标→写出三边方程→求高线方程→解联立方程组，代数运算直接验证共点性。
4.数形结合也是数学记忆和求解的"可视化魔方"
例如数形结合也可以作为我们对正态分布曲线理解和记忆，依旧拿高中人教A版数学教材《选修三》p86中的内容来作为例子
通过钟形曲线直观把握"68-95-99.7法则"，概率计算从死记硬背升级为图形记忆。这其实也就是数形结合在概率统计中的可视化应用.
四 、养成数形结合思维的3个小贴士这里介绍3个养成数形结合思维的小贴士：
（一）双向翻译训练：自问牵引法
在见到代数等问题时候，立即问："这个问题有没有几何意义？”如果见到方程问题，立刻问“这个问题能不能看做函数的交点问题？”（如上面例子中的高考第7题）如果遇到函数，立即问：“这个函数的图像长什么样？"
看到几何图形马上问："能不能建立坐标系？将几何问题代数化？"在高中向量中就提供了坐标表示等工具，初中的几何最值问题，多数也可以采用转化为代数问题进行求解。
（二）工具包升级
大脑中常备做题"四大神器"：（1）笛卡尔坐标系、（2）函数图像库（自己可以积累，比如高中的数学中的常用函数：对勾函数、飘带函数、高斯取整函数、绝对值中的平底锅和Z字函数、e^x与lnx组合成的6个常见函数等）、几何画板（电子）工具、思维导图等。
（三）错题改造
可以把自己在平日学习中曾做错躺在错题本中的纯代数、纯几何问题，换个角度，利用数形结合的眼光重新看一看，再次求解，也许，让我们对数学的认识有不一样的变化。
数形结合思维可以做到通过几何和代数之间的转化，真正有它山之石可以攻玉的效果，挖掘数背后的形的特征，同时也对形所呈现的数学结构进行研究，两者之间彼此进行转化，培养代数推理与空间想象的双重能力的思维维度升级和问题的转化意识，是我们学数学最为看重的能力之一；
当然，现实点来说，这也是中高考命题的宠儿，近年来不少考题都暗藏数形结合，这能让我们更好地看待考题，轻松得到分数，何乐而不为呢？
数形结合思维的最核心的价值在于打破了代数与几何的界限，建立数学知识的整体性联系。
黎曼和(Riemann sum)
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