学生数学试卷反思和改进措施（试卷数学分析存在问题及改进措施）

华南师范大学何小亚教授的新成果，值得大家精读！

这篇文章就是上次市教研中何教授介绍的主要内容。

能不能“大道至简”的用几句话说清楚？

这个是答案吗？

文章提到的每节课45分钟，是指广州外的地区学校吗？（广州每节课40分钟）

小结是否可以按照如下的“套路”来设置三个可追问的问题：

1.本节课你学到的知识点有哪些？（学生回答完追问细节）

2.本节课的数学思想有哪些？（学生答不出来怎么办？）

3.本节课学完有何疑问？（学生自由提问了两个问题，师生逐一解答）

在这些过程中渗透数学史、数学文化、数学思想等等。

……

下面是全文：

数学小结中的问题、对策与案例的研究

何小亚1 张艳虹1 罗静1,2

（1.华南师范大学 数学科学学院，广州 510631；2.韶关学院 数学与统计学院 广东韶关 512005）

摘要：在“双减政策”背景下，如何具体落实“提升课堂教学质量，向‘45分钟’要效率.”这一国家要求，是当前最重要的数学教学研究问题.数学小结是评判课堂教学质量的重要指标.选取17节中小学数学课堂教学实录为材料，运用案例研究与质性研究方法研究中小学数学小结的现状、问题、对策和案例.结果表明：（1）数学小结存在着6个方面的问题；（2）解决数学小结问题的对策是，按照追求数学素养达成的教学设计标准实施数学教学设计，并按照所构建的数学小结的标准实施3～5分钟的小结；（3）按照专业标准所开发的案例，可以实现“向‘45分钟’要效率”，达到提高数学课堂教学质量的目的.最后的课例反思为改进数学教学质量提供了具体的意见.

关键词：数学；小结；对策；标准；案例

1.研究缘起

2021年5月21日，国家发布了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》的文件，其中提出了“要提升课堂教学质量，向‘45分钟’要效率.”的要求.于是，如何具体落实这一要求就成了数学教学研究的最迫切的问题.

那么，如何去评判一堂课的教学质量呢？根据研究者长期的数学教育从业经验，以及数学的“大道至简”原则，最简洁、有效的看点之一就是课堂小结.因此，可以从课堂小结的视角去研究国内中小学数学课堂教学质量.

2.文献综述

研究者界定“数学小结”为中小学数学课堂教学中的一个环节，它与“课堂小结”、“小结”、“归纳总结”等术语意义相同.查阅中国知网，对近十年国内一些研究数学课堂教学效率和数学小结的重要文献进行综述.首先，明确高效的课堂教学含义与高效的课堂教学行为，为后续课堂实录分析提供分析依据；其次，了解数学小结研究的主要结论，为本文确立研究的切入点.

2.1数学课堂教学效率

裴昌根, 宋乃庆（2016）提出：发展学生的核心素养是国内外基础教育改革与发展的重难点，而优质高效的课堂教学是发展学生核心素养最有效的途径.并指出优质高效课堂教学是指教师在遵循教学规律与学生认知规律的基础上，激发并维持学生兴趣，促进学生主动学习，在有限的时间和精力投入后实现三维目标，促进学生核心素养发展的过程.[1]

要提高数学课堂教学效率，教师必须要有高效的教学行为.王光明（2011）提出，科学性视角的高效数学教学行为表现在: 能够恰当确定教学目标以及教学重点与难点; 重视促进学生的深刻理解；促进激发学生的数学求知欲；发挥数学的精神、思想与方法，获得理性的数学思维教育.[2]

何小亚（2019）提出，数学教学当下存在的问题：例题习题分不清，学生参与成空谈；方法先行失创新，问题解决难实行；标准缺失生乱象，数学本质未揭示；不良观点引误解，数学素养难实现.数学教育的未来之路是以理解、探究、问题解决为价值取向，追求数学素养的达成，并促进学生核心素养的发展.并提供了数学教学设计的专业标准和案例.[3]

综上所述，高效的数学课堂教学应以提高数学素养为导向，以教学目标为抓手，促进学生核心素养的发展.

2.2 数学小结

2.2.1数学课堂小结现状

李善良（2015）以参加2012年中国教育学会中学数学教学专业委员会主办的全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动的教学录像为研究材料，研究发现：高中数学教学关注课堂小结，多数课堂小结时间在２～５分钟，主要使用“你学到了什么知识”“你有什么收获”等引导用语.在课堂小结教学环节，教师设计各种问题引导学生进行活动，采取提要式和系统式等小结形式.一些课堂还利用视觉化方式呈现小结内容.高中数学课堂小结教学中存在模式化、机械化现象，学生仍然处于被动接受局面；课堂小结使用表格、图形等呈现方式偏少，表现形式单一，有待进一步改进.[4]

值得注意的是，由于参赛各省为了获得好成绩，教师选手是优中选优，而且每节课都经过各省专家团队的认真打磨，这已经不是平时真实的高中课堂教学.

2.2.2数学小结存在的问题

季海霞（2011）指出高中数学课堂教师对课堂小结重视度太低；教师对课堂小结的角度、方法把握不明；学生在课堂小结中无地位；课堂小结发挥的作用浅显.[5] 石锁华（2015）认为课堂小结被忽视；小结方式单调；小结问题指向不明；小结过程缺乏学生参与.[6]

2.2.3数学小结方法

许瑞珠（2016）从课型角度给出概念课、原理课、习题课、复习课的课堂小结模式.[7]李佑武（2013）指出了初中数学教学中课堂小结常用的方法有悬念式、音韵式、归纳式、设问式、目的式和表格式.[8]徐章韬（2016）提出，单元小结课的设计要做知识、方法的梳理和问题链的设计.强调知识的整体观、系统观、来源、发展历程，展示知识的独特性、发展性、关联性，体现知识的应用性、工具性和功用性，把知识转化为见识.[9] 季海霞（2011）指出数学小结的主体是学生，从教学目标出发，在知识与技能、数学学习方法、情感态度与价值观三方面提出了小结的方法.[5]与其它研究相比，上述三种小结方法是有层次的，但第二维度只提学习方法是不够的，而且每一维度的操作性内容需要明确.

现有研究对“小结什么，谁来小结，小结多久，小结的表达方式”进行了探索，发现小结研究需要关注小节的内容、主体、时长、呈现方式等维度，见表1.

表1：数学小结研究的维度

小结内容有目标、内容、效果三个关注点.教学内容服务于教学目标，回顾数学知识内容与数学思想的言语陈述的小结是肤浅的，必需从科学的教学目标角度来确认小结内容.数学教学效率低下的根本原因是教师不清楚要学生理解什么和会做什么.另外，学与教的效果是小结评价的关注点.此外，在当前作业减少甚至是无作业的“双减”背景下，把握好小结环节的主体、时长、呈现方式，是教学质量提升的保证.研究者关注以下三点：

A.以上研究主要以高中课堂为主，小学和初中课堂较少.那么小学课堂与中学课堂的小结有什么共性和差异；

B.经历了最近两次的课程改革，当下中小学数学课堂教学的小结还存在什么问题；

C.在以核心素养为标志的课程改革以及“要提升课堂教学质量，向‘45分钟’要效率.”的背景下，需要解决数学小结存在的普遍性问题，需要审视现有数学小结的方法，更需要研究数学小结的内容，并构建合理、科学、简洁、有效的数学小结的标准.

3.研究问题

根据文献综述的总结，确定研究以下四个问题：

问题1：中小学数学小结情况如何？

问题2：数学小结存在着什么问题？

问题3：解决数学小结问题的对策是什么？

问题4：符合数学小结专业标准的案例是什么样的？

4.研究方法

对于问题1和问题2，研究者采用课例分析法.

课例样本的选取：新授课、复习课、试卷点评课是数学课的三种基本课型，而新授课的从内容维度可分为概念、原理、问题解决三类课型.因此，样本的选取以覆盖上述课型和内容为原则.此外，也考虑了义务教育阶段和高中阶段两个因素.最终，选取某地经选拔的骨干教师培养对象12人（小学教师编码为P1～P7，初中教师编码为J1～J5）的教学录像，以及随机抽取中央广播电视大学《百节名师风采课》中5位高中数学教师（编码为H1～H5）的教学录像作为研究材料.

分析流程：

首先，完整观看每一节教学录像，建立表格从授课教师、年级/课题、授课类型几方面填写记录视频信息，并写下点评.

然后，再次观看每一节课的小结部分，在第一步的表格中补充小结时间、小结内容具体信息.把小结的录像视屏与声音信息转换成文字材料（见附录），然后按照知识与技能、过程与方法、情感态度价值观的操作性定义[10]去分析.

对于问题3和问题4，使用质性分析方法进行研究.

5.研究结果

5.1问题1的研究结果——中小学数学小结情况

根据前述分析步骤形成了小结分析实录，篇幅所限仅呈现一个样本的完整分析记录.

从视频分析记录来看，不同学段、不同课型的小结大都是（8/13，样本数17，其中4个无小结环节）千篇一律地单调地问学生收获、想法、认识；不管是骨干教师培养对象还是数学名师，他们的数学小结离专业标准有不少差距；这7节小学、5节初中和5节高中的数学课的小结，数学小结的质量与教龄以及职业声誉没有直接关系.

5.2 问题2的研究结果——数学小结存在的问题

5.2.1 时间控制不好，导致无法小结或者走过场的后果

P3、J1、J2、H5三位老师没有小结.H1老师的小结草草结束，只有15秒.复习课与试卷讲评课不用小结吗？这个问题值得反思.

5.2.2 小结内容只是知识点和技能言语信息的罗列

P1、P2、P4、P5、P6、P7这六个小结都是问学到了什么？或者你有什么收获？，从学生的自由回答材料中看出，学生的回答都是处于只是罗列知识点和技能的言语信息水平.

5.2.3 缺少“理解” 和“会做” 的具体内容

J1的试卷讲评课、J2的问题解决课，没有小结，只是给出怎么解的具体答案，并没有把“理解” 和“会做” 的具体内容要点总结出来.

5.2.4 缺乏“把书读薄”的结构性小结

除了J3、J5、H2之外，其余的课没有体现“把书读薄”的结构性小结；

5.2.5小结空泛，没有针对性

H1老师：好，小结.我们经历了问题提出——问题分析——问题解决，在这过程中大家收获了什么？有什么启示？“最后，让我，用这句话共勉.”显示笛卡尔头像及其名言：“我思故我在.”

教师用15秒讲了以上文字，没有问题内容，没有分析内容，如何解决问题？也没有讲什么收获.这样的小结空洞无物，可以套在很多课上.

5.2.6 小结失控，目标难以达成

许多老师喜欢问：“这节课你学到了什么？有什么感受？”P1、P2、P4、P5、P6、P7、H3、H4这8节课的小结由被问者自由发挥，天马行空，难以保证质量.

尽管J4也是问“学到了什么？”，但已经把小结的目标限定在数学知识与数学思想方法两个维度.不过，除非在教学过程中已经渗透了且明确了数学思想，否则大多数学生难以总结出数学思想.

小结请学生谈收获，效率太低.一是浪费时间，二是学生的个人收获层次低，三是并没有解决教学目标要学生会做什么？理解什么？5类重要的过程性目标无法强化落实，难以实现查缺补漏、画龙点睛，大面积提高教学质量的目标.

按照追求数学素养达成的教学标准[3]，J5的小结是所有课中最好的.通过提问具体的内容来强化重点、难点和关键，解决了小结失控问题与师生互动问题.不过，注意点2的效果需要通过反例来强化.

J5老师展示PPT，进行课堂总结：

提问1：本节课我们学习了什么内容？

提问2：去分母的依据是什么？

提问3：去分母的作用是什么？

提问4：怎样去分母？

提问5：去分母有什么需要注意？

师：（1）本节课所学去分母有三个细分步骤和两个易错提醒；（2）“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1”是解决一切一元一次方程的利器；（3）本节课体现了化归的数学思想，体会“追求简单化”的数学灵魂，感受数学文化的魅力.

图1 课例《解一元一次方程——去分母》小结

J5老师比较熟悉数学教学设计的标准，这节课的整体教学设计及其小结设计符合追求数学素养达成的教学设计标准，最终成为广州市初中数学公开课的范例.

5.3问题3的研究结果——解决数学小结问题的对策

要解决数学小结存在的问题，必须要从国家第九次数学课程改革的视角出发，解决好核心问题：未来的数学教育要到哪里去？如何实施高效的数学课堂教学设计？文献[3]已经指出：数学教育的未来之路是以理解、探究、问题解决为价值取向，追求数学素养的达成，最终促进学生核心素养的发展，并给出了追求数学素养达成的教学设计标准与案例.我们综合文献综述中高效数学课堂的要求及文献[11]和[12]，结合2.3中对文献综述结果表1的分析，根据三维目标形成数学小结的内容框架：

知识与技能：知道什么？理解什么？会做什么？

这一维度指的是数学基础知识和基本技能.其内容主要包括三类：一类是数学概念、数学原理（即数学定理、性质、公式、法则）、基本的数学事实结论这样一些用于回答“是什么”问题的陈述性知识，它属于言语信息,人们戏称之为语文老师教的数学；第二类是涉及到数学概念、数学原理、基本的数学事实结论的运用，用于回答“做什么”的问题的程序性知识，它属于认知技能；第三类是数学操作性技能，它属于动作技能.

过程与方法：数学的思想、能力（包括数学核心素养的操作性定义）、问题解决、思维品质、眼光和数学活动经验）.

具体内容是：通过数学学习过程，把握数学思想方法；培养数学能力（包括数学核心素养的操作性定义，数学学习能力）；提高问题解决能力[13]；改善数学思维品质（广阔性/深刻性/灵活性/独创性/批判性/严谨性），发展数学眼光(观察数学世界和真实世界的一种意识，是在思考问题时数学方面的自觉意识、关注和习惯)包括：精确的眼光、严谨的眼光、简洁的眼光、概括的眼光、统一的眼光、理想化的眼光（将实体简化假设为几何模式或代数模式）、共性化的眼光（对共同属性的敏感、直觉和发现）；培养数的意识、符号的意识、空间观念、数据分析的意识、数学应用的意识；积累基本活动经验.

情感态度价值观：数学信念价值观、数学兴趣、数学具体内容的喜好感受.

这里的情感是指，在数学活动过程中的比较稳定的情绪体验.数学态度是指，对数学活动、数学对象的心理倾向或立场.表现出兴趣、爱好、喜欢与否、看法立场.

数学态度包括对数学学科的态度（数学信念）、对数学的兴趣、对数学具体内容的喜好.

这一维度目标的内容还包括宏观的价值观和数学审美观，如：对数学的科学价值、应用价值和文化价值的看法；辩证法的观点；数学的美：精确之美、严谨之美、简洁之美、概括之美、统一之美，以及奇异、对称、和谐之美.

数学小结的专业标准是：以学生为主体，教师为主导，按照数学小结框架实施，并通过问题串的师生互动方式强化其中的要点.

5.4研究问题4的研究结果——符合数学小结专业标准的案例

按照上述数学小结的专业标准，开发了两个高中数学课的小结案例.

案例1：高一，《直线与平面平行的判定》 （研究者开发，2021年广东省本科高校师范生教学技能大赛的获奖设计）

图2：《直线与平面平行的判定》小结

PPT中教师的说明：

1.利用定义，难以判断直线与平面没有公共点，为此探究出了化难为易的利器——直线与平面平行的判定定理；

2.定理把空间问题化归为平面问题，体现了化归的数学思想.

3.在真实世界（造桥、建房、挂黑板）和数学世界（立体几何）中存在着无数个需要判定线面平行的问题.生命有限，不可能穷举一切.用一个有限的线面平行判定定理，就可以驾驭无限的线面平行问题.追求简单化是数学的灵魂.

4.老师非常喜欢这个定理！

原因之一是它能化难为易，它把一个用定义难以判定的线面平行问题化归为简单的线线平行问题；

原因之二是这个定理高度的概括性，即实现了以一个有限的定理可以解决真实世界和数学世界中无穷无尽的线面平行问题.

案例2：高二，《二项式定理》教学新设计[14]（研究者开发，华南师范大学研究生“一生一优课”与基地学校“一师一优课”的同课异构示范课.）

教师归纳总结：

（1）回顾这节课，发现容易算出=？=?=?，但面对甚至是3031次方、7071次方等复杂的计算，需要学习数学家的思维方式——化繁为简！先提出一个一般化的问题，=？但不知道的大小，更难了！化难为易！退一步，海阔天空！从特殊的例子中发现规律，进而得到了一般的二项式定理.一般化和特殊化是化繁为简的数学思想.

当然，也可以用数学的另一个“大杀器” ——“数学归纳法”来证明二项式定理.

（2）公式中的字母本质上就是两个框□、△，好多东西可以往里装！也就是说，字母是可变的（单个字母、数、单项式、多项式、分式、有理式、无理式），但是公式的结构是不变的.例1装的是，例2装的是，例3装的是，课堂练习装的是.

注意：通项公式指的是展开式中的第项，指的是第项的二项式系数，要与项的系数区别开来.

缺乏“把书读薄”的结构性小结；小结空泛，没有针对性；小结失控，目标难以达成.

（2）解决数学小结问题的对策是，按照追求数学素养达成的教学设计标准实施数学教学设计，并按照数学小结的标准实施3～5分钟的小结.

（3）按照专业标准所开发的案例，可以实现“向‘45分钟’要效率”，达到提高数学课堂教学质量的目的.

7.问题讨论

根据研究者所构建的数学小结标准，以及多年的从业经验，下面呈现我们对样本中一些典型课例小结问题的教学反思.

7.1《平均数的再认识》，P1

小结要回答好这些问题：为什么要学习平均数？它有什么作用？平均数的大小与一组数据里的每个数据都有什么关系？如何准确快速地计算一组数据的平均数？

7.2《烙饼》，P2

其问题是：一口平底锅，同时可以烙2张烙饼，烙1张饼，需要2分钟，（正、反面各需1分钟）.那么3张烙饼需要多长时间？

从其小结与其教学过程中看出，老师的教学停留在低级的具体实物饼操作，并没有把解决问题的方法上升为更简单的数学表示：记此三张饼分别为A、B、C，第1分钟， A正B 正；第2分钟，C正 B反；第3分钟A反 C反.更没有使学生明白：偶数张饼如何烙？奇数张饼如何烙？也没有说出最优化的价值，更没有总结出数学的灵魂——追求简单化！

7.3《铅笔有多长》，P6

7.3.1学生对长度的内化理解是本节课的一大难点，这是意会知识，与年龄的大小关系

不大，要靠自己动手测量的实践、交流、思考才能获得，由此开始，要逐渐形成精确度量，数据说话的习惯.

7.3.2没有讲出测量的必要性，这节课要把数学的精确性作为贯穿课堂始终的灵魂主线，目测只解决了区别较大的问题，对于不能目测以及差别不大的物体的长短问题，需要精确的测量才能解决.

7.3.3没有讲出为什么要需要毫米、厘米、分米、米、公里这些单位，其相对性的优劣是什么？（单位太大，短物就不够量；单位越小，测量就越精确，但测量较长的物体，量出的数据就越大，也要花费更多的时间.数学是追求简单化的，为了使数据简单，就要用大一点的单位）

7.3.4在未测量之前，问学生：“你说是几？”学生给出五花八门的说法后，要提出问题：“到底谁说的准确？”怎么办？——动手测量，获取精确的数据，用数据说话吧！

7.4《压轴题突破》，J2

J2教师素质不错，英俊潇洒，有亲和力和掌控力；口齿表达清晰，思路讲解清楚，并注意到了启发学生思考.但有许多学生实际上没有加入数学思维过程，如此难以保证课堂教学质量.最遗憾的是，只讲了一些具体的解法，但没有把其上升到数学思想的层面：化归思想.要想提高学生独立解决难题的水平，一定要教会学生解决问题的思维方式：由因导果,执果索因，追寻结论成立的充分条件，上下紧逼，前后夹攻，思路贯通，并把追求简单化的数学灵魂贯穿始终.

7.5《整式及其加减》，J4

7.5.1为什么要学习本节内容？要回答好学习重要的、起始性的新知识的必要性，就需要创设情境教学环节1来解决.教师要强调，以后我们会遇到大量的、复杂的多项式的运算.遇到复杂的代数运算，数学家的策略就是化繁为简.那么在一个复杂的、长长的多项式中，哪些项可以合并化简呢？直接就所举例子：如果可取-100～100中的任意整数，那么代数式的值是多少？问此代数式中有几个x的平方？几个x？他们可以分别合并.接着指出他们有共同的特点，他们叫做同类项，可以合并.那么，什么叫做同类项？除了这两种同类项之外，还有那些同类项呢？接着转到同类项的定义这个环节2.

7.5.2在环节2，要明确同类项是满足特殊条件的单项式，本质上是数和一些字母相乘，没有加减运算.

7.5.3合并同类项的难点是“同类项的识别”.克服这一难点的关键是，区分系数和字母部分，而且把字母部分当一个整体（母机——字母组成的机器）看待.判断同类项、合并同类项的标准是：不看系数看“母鸡”，是不是一样的“母鸡”，就看它是不是有相同字母而且个数相同；一样的“母鸡”才能合并，合并系数即可.

7.6 《椭圆》，H1

7.6.1其实，这节课做了4件事：①花了22分钟讲椭圆的定义，叫学生用绳子画椭圆；②花5分30秒叫学生用尺规画椭圆，花2分15秒说了三个尺规作图不可能问题（三等分任意角、化圆为方、立方倍积）；③列表描点画椭圆；④求焦距是8,长轴是10的椭圆的方程.

7.6.2 ①和②的本质不一样吗？为什么还要求更不准确、更麻烦的画法②？为何小结不比较指出二者的差异？尺规作图不可能问题与③有必要吗？

7.6.3这节课的目标定位合适吗？能用一个具体的方程代替一般的标准方程？如果可以，那么如何落实这些目标：解析几何的思想？数形结合的思想？运算化简能力？为何引进b，其几何意义?如何深化能力: “求曲线的方程实质上就是求该曲线上任意一点的坐标所满足的关系式. 为此, 需要建立直角坐标系, 设点坐标,抓住该曲线上的点满足的几何性质, 将此几何性质代数化得出方程, 证明这个方程就是所求的方程.”？得出了方程为何还要证明？如何强化曲线与方程的关系？

如何感受“追求简单化”这一数学的灵魂？如何感受数学的简洁、对称、概括、统一之美？

7.6.4 你知不知道法国数学家笛卡尔，是一个对感觉、数学、逻辑均怀疑的哲学家？你能理解“我无法否认自己的存在，因为当我否认、怀疑时，我就已经存在！”这样的解释吗？

用“我思故我在.”与学生共勉？共勉什么？它和这节课所做的4件事有什么关系？其必要性与合理性何在？

7.7《函数的应用》，H4

与许多老师相比，3分19秒小结时间已经不短.但让5个学生先自由地说其想法，教师再总结两点：一是何为函数？二是函数是一种重要的数学模型.如此的小结难以保证小结的质量.请反思以下三点：

A.又学了一个学期的函数，对函数的理解是不是应该再上一个台阶:函数是两个非空数集之间的一种对应关系；在一个集合中任意取定一个数，总可以在另一个集合里找到唯一确定的数与它对应；函数概念中两个变量的符号不是固定的.函数其实就是一个系统，一台机器，它由两个变量，两个非空数集，对应法则f 构成，不能把函数值f(x)当成函数,也不能把对应法则f 当成函数.我们可以说一个变量是另一个变量的函数，但不能把变量x、y当成函数，因为函数不是变量，而是一个系统.[15]

B.没有给出数学建模的概念以及准确的数学建模流程图，更没有指出数学建模中的核心环节理想化.

C.都到学期末了，还没有解决为什么要学习基本初等函数？这节课需要强化哪些数学思想？

7.8《频率与概率》，H5

十分遗憾，如此重要的概念新授课居然没有小结？经过小学、初中与此相关领域的学习，到了高中，教师是不是应该让学生明白以下几点[16]：

A.概率论是研究随机现象的科学，随机现象是通过随机试验来研究的．概率是反映随机事件发生的可能性大小的数值，人们常常用它来研究刻画随机现象．随机事件由随机试验来确定．这一理想化的理论数值无法通过具体实践获得．但人们可以通过大量的重复试验获得的频率来估计概率的大小．

B.突破教材限制，理解好三个概念：随机试验、基本事件、随机事件．

随机试验是满足如下3个条件的一个数学概念：①试验的所有可能结果可以预知，且不止有一个结果；②每次试验只出现所有可能结果中的一个，但试验前无法确定哪一个结果会出现；③试验可以在同一条件下重复进行．

随机试验的每一个结果叫做基本事件，也叫做样本点，所有样本点的集合叫做样本空间．样本空间的子集A（空集和除外）叫做随机事件．

C.抓住三个要点：①频率是用来估计概率的近似值；②频率是一个在试验前不能确定的随机数，做同样次数的重复试验得到的频率可能相同也可能不同；③概率是频率的稳定值，它是一个理想化的理论数值，与每次试验无关．它反映着随机事件的偶然性中的必然性．但某个随机事件的概率是0.1，不能理解为试验10次该事件就一定会发生1次．

需要指出的是，鉴于样本容量的限制，我们对这项研究的外在效度持谨慎的态度.

8.研究展望

通过数学小结标准的实施可以提高数学课堂教学质量，但如何结合本节课的定位与数学内容来明确各个层次的具体内容就成了关键.数学教学低效的主要原因是教师不知道理解数学要理解什么？也不清楚到底要教会学生什么？因此，要提高学生的数学素养，首先就要提高教师的数学素养.于是，如何帮助教师深刻认识数学和欣赏数学？如何提高教师对数学具体内容的理解水平？就成了教师教育必须研究解决的基础问题.

以提高学生数学素养为目的，以三维目标为逻辑起点的数学小结标准中的师生角色定位是：以学生为主体，教师为主导.在实际操作过程中，如何避免出现脱离学生实际的教师完全主导现象，就成了今后研究应关注的问题.

信息技术的普及，使得“黑板 粉笔”的教学模式被弱化了.好的23块板书能把教学过程、重点和难点完整展示在学生眼前，而线性呈现的PPT总会被下一张覆盖.前者展现了“可溯源”的思维过程，为数学小结的实施、强化提供了认知的支持.而后者只能靠记忆的模糊再现.缺少思维过程的整体展示，难以达到高效的强化作用，使数学小结失去了认知的基础.于是，在信息技术大趋势的背景下，解决PPT小结的局限性就成了今后十分迫切的研究问题.

附录材料（略）

参考文献

[1] 裴昌根, 宋乃庆.基于核心素养的优质高效课堂教学探析[J].课程·教材·教法，2016,（11）：45-49

[2] 王光明.高效数学教学行为的特征[J].数学教育学报，2011，20（1）:35-38

[3] 何小亚.追求数学素养达成的教学设计标准与案例[J].中学数学研究（上半月）,2019,2:封2-8

[4] 李善良.高中数学课堂小结的现状分析[J].课程·教材·教法，2015,（2）：63-68

[5] 季海霞.高中数学有效课堂小结的实践与研究[D].苏州大学，2011

[6] 石锁华.中学数学课堂小结的现状研究[D].南京师范大学，2015

[7] 许瑞珠.当前高中数学课堂小结现状调查及案例研究[D].杭州师范大学，2016

[8] 李佑武.初中数学教学中课堂小结常用的几种方法[J].吉首大学学报（社科版），2013，（6）：174-175

[9] 徐章韬.数学单元小结课的认识及其教学设计[J].课程·教材·教法，2016,（12）：61-65

[10] 何小亚,姚静.中学数学教学设计（第三版）[M].北京:科学出版社,2020:24-31

[11] 何小亚，袁媛.高中数学新课程、新教材、新高考、新教学访谈[J].中学数学.2021，5：34-38

[12] 何小亚，张敏，李湖南，罗静，张艳虹.数学单元教学设计的标准与案例[J].数学通报，2021，（5）：46-48转53

[13] 何小亚.数学学与教的心理学（第二版）[M].广州:华南理工大学出版社,2016：201-241

[14] 冯佩佩，何小亚.“二项式定理”教学新设计[J].中学数学.2021，11：21-24

[15] 彭晓燕，何小亚.立足教材 凸显本质——《对数函数的图像与性质》的教学新设计[J].中学数学.2019，12：3-6

[16] 何小亚.高中概率模型学与教中的问题和对策[J].数学教育学报,2017,26(1):37-40