作者 | 陈韦仰（国立彰化师范大学科学教育研究所博士生）、温媺纯（现任教于国立彰化师范大学科学教育研究所）
来源 |《数学传播》2022第46卷第4期（184），感谢《数学传播》授权转载！
摘要：学证明是高等数学的重要学习指标，证明除了有解释以及交流沟通的功能之外，在数学系所的实务课堂中， 不管是教学、 作业、或是考试，证明占有的比例都相当高。本文介绍数学证明中可能出现的错误， 并依照其特点进行分类， 共有十个子类型并分成三大类型。于文中所展示之实例均尽可能使用现有文献曾出现过的范例。希望通过这些类别的介绍， 能提高证明学习初学者对证明的理解， 也可以让专业的数学教师编写出更好的证明文本。
关键词：数学证明、证明错误。
一、绪论
长期以来， 数学证明一直被视为数学的中心和数学教育的重点[5][12] ， 同时也是专业数学实践的核心要素[21] 。数学证明在数学的教与学中扮演相当重要的角色， 例如证明可用于验证数学猜想[12][23] 。除此之外， 证明还扮演其他角色：解释[23]和交流[4][6][16][23] 。从解释的角度来看， 数学家使用证明来解释定理为什么是正确的[21]， 除此之外， 证明可以用来说服他人也能说服自己[9]。而从交流的角度来看， 证明可作为数学家之间传递数学知识的工具[4][6] 以及与数学领域同侪思想交流的功能[12] 。也就是说， 数学家可以通过证明与同侪或学生沟通[16] 。在学习方面， 证明可以使学生产生有意义的数学经验[26] ， 除了让学生能相信该定理是正确的， 也能使学生获得数学书写技能以及增加对证明的内容理解[28][31] 。如果聚焦在大学数学系的课堂中， 证明更是教学解释的主要形式[14][15] 。
由于证明在数学教育的重要性， 课程设计者也会强调证明在数学课程中的作用。数学教育研究人员认为， 在中学数学的课程中持续接触证明内容可以使大多数学生保持连贯性[19]与一致性[27]， 也能使学生未来在大学数学证明密集课程较易获得成就[27]。实际上， 世界各国的课程标准也同时强调了推理和证明的重要性， 以美国为例， National Council of Teachers of Mathematics [NCTM， [18]] 提倡使用推理和证明结构作为数学理解的一部分。NCTM[18] 还建议学生应具备以下四项能力：体认推理证明为数学中必要且重要的部分; 提出猜想并检查猜想是否成立; 发展且评价数学论证与数学证明; 以及选择适当的推理形式和证明方法。在台湾，国家教育研究院[1]提出除了数学知识外，将符号使用，操作，推理和证明四种能力的培养也纳入十二年国民教育数学领域的主轴。国家教育研究院[1]还特别强调数学领域内容应提及证明学习， 例如是无理数的证明以及数学归纳法证明。
综上所述， 以及参考国内外的国家级教育单位所明列之推行政策， 可窥得数学证明的理解与学习实在是扮演数学教育中举足轻重之地位， 其重要性可见一斑。同样地， 数学证明错误类型的分类也相当重要， 原因有以下三个：
（1） 在书写数学证明时能少犯错误
了解数学证明错误类型的人可以在自己编写数学证明时防止出错， 因为他们已经知道可能出现哪些类型的错误， 在检查时也能依照分类去检视， 避免自己在书写证明时犯下错误。
（2） 为大学教师提供确认学生证明的参考
在高等教育的课堂中， 教师需要确认学生所写的证明， 例如考试、作业中的证明题。除此之外， 教师需要深入了解数学证明的不同过程， 以便解释和回应学生的论点[25]。因为证明可能没有唯一解法， 不一定要写成最佳解答才是正确， 所以当学生写出不正确的证明时， 错误的理由不应该是其与最佳解答不同， 而是必须指出学生的答案错误在哪， 为何不是有效证明。了解数学证明错误类型的教师可以增加他们发现错误的可能性， 因为他们已经知道可能出现哪些类型的错误。因此， 了解数学证明错误类型可以提高教师发现学生证明错误的能力。
（3） 提供大学教师设计教材作为参考
确认证明有效或无效是学生的一项重要能力， 在学生确认证明时， 要去决定论述是否能接受可以带给学生对于证明理解的不同观点[8] 。为了培养学生的这种能力， 教师可以设计一些有错误的证明让学生进行确认。对于有错误的证明， 设计者希望在证明中安排何种错误类型便是证明确认任务中的关键。如果有错误类型的分类可供参考， 设计者就可以更容易以及更有效地设计出错误的数学证明， 用以训练学生证明确认之能力。
然而， 目前的文献并没有提供数学证明错误类型较完整之分类， 大多数研究只介绍了一些证明错误类型。以下是现有文献提及证明错误类型的介绍：许介彦[2]以示例呈现在数学归纳法中可能出现的错误， 包含归纳步骤不适用于基底步骤、 基底步骤漏掉某些情况、以特例当成证明; Selden 与 Selden[22] 的研究材料出现三种错误：大量错误、认知差距、证明方向相反; Inglis， Mejia-Ramos， Weber 与 Alcock[11] 以较宏观的观点将错误分成两类：行与行之间的推论错误、解释不够清楚的认知差距; Ko 与 Knuth[13] 将研究工具所使用题目的错误分类， 同样是以宏观的观点分成两类：整体结构的错误、行与行之间的推论错误; Wheeler 与 Champion[30] 聚焦于 one-to-one 与 onto 性质的证明， 于编码表中列出学生犯的错误：符号错误使用、无法理解的证明、变量混淆使用、认知差距、计算错误、变量未宣告、对于 one-to-one 的定义不清楚、假设结论正确、对实数性质不理解、弄混 one-to-one 与 onto 之定义、以特例当成证明; Stavrou[24] 列出四种可能出现的错误：以特例当成证明、假设结论正确、充要条件的验证没有双向证明、对于数学定义的不了解。其中 Inglis 等[11]以及 Ko 与 Knuth[13] 虽然用宏观的角度来区分错误类型， 但缺乏了细微之描述说明。而许介彦[2]、Selden与Selden[22]以及 Stavrou[24] 虽然有列出较明确之叙述， 但仍有未提及之错误类型。虽然 Wheeler 与 Champion[30] 已提到较多的错误类型， 但该文对于错误类型之描述专注于 one-to-one 与 onto 之证明， 缺乏出现于其他证明情形的错误类型。
由于尚未有文献提供较完整分类错误的类型， 可能会导致数学读者不清楚数学证明中可能出现的错误类型。有鉴于此， 作者专门对数学证明错误类型进行了分类， 且有别于上述介绍之文献， 本分类兼具宏观性与微观性， 在三大分类之下还有细分不同子类型， 以便未来对设计证明验证任务感兴趣的读者可以更方便地进行错误类型说明和文本设计。在本文中， 我们将介绍证明错误的类型， 如表 1 所示。将错误类型分成三大类：迷思概念、推导错误、其他。其中迷思概念有五种错误子类型， 推导错误有三种错误子类型， 其他有两种错误子类型。迷思概念类型包含错误起因是对证明方法、证明架构、数学定义或符号有迷思概念; 推导错误类型主要探讨行与行之间推论的错误; 而其他类型则是用以补足上述两类型之外， 但又确实常见于学生答案之状况。本文的下一节将更详细地介绍这些内容。
表1：证明错误类型、子类型以及相对定义
二、数学证明错误类型
如表 1 所示， 十种证明错误类型分为三类， 根据需要又分为一些子类型。其中大多数错误类型的例子都可以在现有的实证研究中找到， 以下是证明错误类型的介绍：
（一） 迷思概念类型
迷思概念类型的证明错误内含五种子类型， 前四类为对证明的迷思概念， 第五类为对定义的迷思概念。对证明的迷思概念意指不清楚何谓证明或不了解特殊的证明架构， 包含：不知道使用的变量需宣告、把举例当成是有效证明、在证明一开始即假设结论为真、不懂充要条件的证明需证明双向、 不清楚证明方法的架构。对定义的迷思概念意指对于证明当中会使用到的定义不够清楚， 错误的使用而导致证明不正确。迷思概念所造成的书写证明错误， 几乎只发生在证明的初学者（大学生以下）， 由于数学家（指专业研究人员或大学教师） 的迷思概念较少， 因此鲜少发生在数学家所写之证明。对于子类型的详述如下：
出现未宣告变数
此错误类型乃是指在证明书写过程中， 出现了未加定义或无宣告说明的变量。被归类在迷思概念类型之中， 是因为书写证明的作者不清楚使用变量需宣告， 对于证明中的变量使用有迷思概念。由于数学语言常常会使用符号， 因此对于每一个出现的变量都必须加以说明叙述， 才能让读者清楚了解该变量的定义为何。对于数学证明的非初学者而言， 宣告变量可算是习以为常， 因此这类型错误较常出现在尚未将变量宣告当成习惯或是没把变量宣告当成有效证明之必要条件的证明初学者。虽然有时未宣告的变量仅仅是证明错误中的「小瑕疵」， 但有时也会导致初学者产生错误的理解， 图 1 是文献中发现有「出现未宣告变数」的错误例子：
图1：错误类型 --- “出现未宣告变量”
在图 1 中， 这个命题的目标是证明「质数有无穷多个」，这是一个众所周知的证明。然而，8行证明之中没有宣告为何， 在证明的第3行便出现了。除了变量本来就应该宣告说明的原则之外， 变量定义的缺漏会让读者更难跟随证明的思考模式， 特别是在一个证明中出现很多变量的时候。
以特例做为证明
此错误类型是指在证明过程中， 仅仅举了有限个例子便以为是正式证明（非指举反例的否证）。被归类在迷思概念类型之中， 是因为书写证明的作者不清楚可形成证明之条件， 具有举例可当成证明的迷思概念。由于证明需满足所有可能的状况， 而常见的自然数、实数或是数线与平面上的点都有无穷多个元素， 因此只有举部分的例子， 是无法符合数学强调的一般性。Inglis 与 Alcock[10] 提到用画图形当成证明其实也是用特例的一种， 因为画出来的图形只是举出的一种情况而已， 所以或许还有其他的可能性。但在 Weber 与 Czocher[29] 的研究中， 大多数参与者都知道数学家之间对视觉证明的有效性存在分歧。参与者认为情境对于判断证明的有效性尤为重要。也就是说， 参与者声称视觉证明在某些情况下是有效的， 而在其他情况下则声称它是无效的， 例如 62% 的参与者认为 Weber 与 Czocher[29] 研究中使用的视觉证明是有效的。但是， 在另一种情况下， 如果我们想证明是的渐近线，我们无法通过绘制两条曲线来证明。因为和这两条曲线会随着变大而越来越接近。使用图形只能表现它们越来越接近， 但不能解释为什么两条曲线最后不会有交点。由此例可见， 画图不适用于某些情况， 并不是所有情况都能用画图解释。总而言之， 正式的数学证明还是必须顾及所有可能情形。这类型错误几乎只出现在证明初学者， 特别是那些对于正式证明有迷思概念， 还不晓得举例无法当成证明的学生。图 2 是举文献中发现有“以特例做为证明”的错误例子：
图2：错误类型 --- 「以特例做为证明」之例[5][p.114]
在图 2 之中， 此题目标是证明「若 m是n的因子且m是p的因子，则m是n p 的因子」， 证明过程仅仅举了一组合乎此关系的数字便认为得证，可看出学生含有举例可做为正式证明的迷思概念。
假设结论正确
此错误类型乃是指在证明过程的最开始便假设结论正确， 这在一个有效的证明中是绝不会看到的， 把 p ⇒ q 的证明目标证成 q ⇒ q 或是 q ⇒ p 。有别于常见的反证法， 因为逻辑上 p ⇒ q 等价于 ∼ q ⇒∼ p ， 反证法是由 ∼ q 起始证明， 这与此错误类型由 q 起始是完全不同的。被归类在迷思概念类型之中， 是因为正确的证明方法（直接证明法、矛盾证法、反证法、 ⋯ ） 都不会出现此错误类型， 书写出此错误类型证明的作者可能尚不清楚证明的常用方法有哪些， 对于要如何形成证明有迷思概念。这类型错误常见于对证明架构不够了解的证明初学者， 而其中可再分为两种子类别， 以下是子类别的说明与举例：
（1） 结论同时为证明的起点与终点
此错误类型即把 p ⇒ q 的证明目标证成 q ⇒ q ， 一开始先假设结论正确， 最终自然会发现结论是对的。在没有其他错误发生之情况， 这样的证明若只看推论过程， 会发现是没有推论错误的， 但不符合命题要求而已。图 3 是文献中发现有“结论同时为证明的起点与终点”的错误例子：
图3：错误类型 --- 「结论同时为证明的起点与终点」之例[24][p.4]
图 3 中， 此题目标是证明「若 x , y 均为正偶数， 则 x y 为偶数」， 证明过程一开始便假设 x y 为偶数， 最后当然会得证 x y 为偶数， 但并不是一个合乎命题的有效证明。
（2） 证明方向相反
此错误类型即把 p ⇒ q 的证明目标证成 q ⇒ p ，原始目标要证明 q 为真， 却证成 p 为真， 自然是错误的证明。此类型与前一类结论同时为证明的起点与终点相当类似，但仍不尽相同。除了结论部分一为 q 、 一为 p 之外， 前一类型的推论过程多半无误， 但此类型则不一定， 因为 p ⇒ q 并不等价于 q ⇒ p , 即便 p ⇒ q 正确， 也不保证 q ⇒ p 正确。图 4 是文献中发现有“证明方向相反”的错误例子：
图4：错误类型 --- “证明相反方向”之例[20] [p.510]
图 4 中， 此题目标是证明「若 m , n 均为整数且 mn 为奇数， 则 m 为奇数且 n 为奇数」， 证明过程一开始便假设 m 为奇数且 n 为奇数， 最后得证 mn 为奇数。因为两奇数相乘为奇数为真， 此题证明过程的逻辑推论无误， 但不符命题要求， 不为有效证明。
特殊的证明架构不清楚
此错误类型乃是指学生对于一些特殊的证明手法不熟悉， 不清楚证明架构， 以致于无法正确写出证明。数学证明的特殊方法都有其自己的架构， 例如：数学归纳法、矛盾证法、反证法、等价叙述证明， 此类型错误常见于对特殊证明架构不够了解的证明初学者， 针对较常见的错误可再分为两种子类别， 以下是子类别的说明与举例：
（1） 等价叙述的证明方法不清楚
此错误类型即不清楚如何证明等价叙述。被归类在迷思概念类型之中， 是因为书写出此错误类型证明的作者对于要如何完成等价叙述之证明有迷思概念。等价叙述的要求， 即满足若某一叙述成立， 要能推得其他叙述成立。举例来说：若要证明三叙述 A , B , C 为等价叙述， 正确的证明方式大致有两种， 一为环状式的证明， 分别证明” A ⇒ B 」、 「 B ⇒ C 」、「 C ⇒ A 」， 另一是证明两两叙述为充要条件「 A ⇔ B 」、 「 B ⇔ C 」（若这两关系成立， 「 A ⇔ C 」已隐含在其中， 故不需再证明）。Stavrou[24] 曾提到充要条件的证明常有学生只证明单方向， 而没有证明另一方向。其实充要条件的证明即等价叙述证明的特例， 充要条件便是两个叙述为等价叙述， 故在此分类中， 将充要条件放宽至等价叙述， 更能符合实际状况。图 5 是线性代数的「等价叙述的证明方法不清楚」之例：
图5：错误类型 --- 「等价叙述的证明方法不清楚」之例
图 5 中， 虽然成功证明了「 1 ⇒ 2 」、「 2 ⇒ 3 」， 但这 10 行的证明并不是此等价叙述性质的完整证明， 因为等价叙述证明需符合若某一叙述成立， 要能推得其他叙述成立。在此示例中， 仅完成当叙述 （1） 成立时， 可以推得叙述 （2）、（3） 成立， 以及当叙述 （2） 成立时， 可以推得叙述 （3） 成立。若是叙述 （3） 成立时， 并没有办法以此证明得到叙述 （1）、（2） 成立 （也无法说明叙述 （2） 推到叙述 （1））。另一种常见于初学者对于等价叙述证明的迷思概念， 会误以为要直接证明个别叙述为真， 图 6 是线性代数中等价叙述之命题， 可依此例来说明若学生误以为等价叙述证明是要直接证明个别叙述， 在证明过程中会遇到何种困难：
图6：等价叙述之命题
图 6 是等价叙述之命题， 目标应证明当叙述 （1） 成立时， 叙述 （2） 也会成立， 以及当叙述 （2） 成立时， 叙述 （1） 也会成立。如果有学生误以为要证明下列两叙述均成立，此命题将变成错误之命题。因为只有在 V 没有 non-trivial subspace 时 （即 V 的 subspace 只有零空间与自己）， 叙述 （1）、（2） 才会一定成立， 若 V 有 non-trivial subspace， 则挑出来的 subspace 就不一定会同时满足叙述 （1）、（2）。既然命题是错误的， 学生再如何尝试证明也不可能得到正确之证明， 更有可能误以为找到反例， 但其实是自己对等价叙述的证明方法有迷思概念。
（2） 数学归纳法的初始状态无法迭代推论
数学归纳法具有独特的两阶段证明结构：基底步骤 （basis step） 和归纳步骤 （inductive step）。其中， 归纳步骤是迭代推理， 目的是希望通过这个过程， 能让证明目标从起始值满足所有情况。如果除了起始值之外的归纳步骤正确， 便会出现这种类型的错误。这种错误类型的谬误经常出现在流行的数学文章中， 作者的意图是通过这样的矛盾和趣味结果来震撼读者的逻辑思维。被归类在迷思概念类型之中， 是因为看不出此类错误的读者对于数学归纳法之操作模式不够了解， 尚有些许迷思概念。图 7 是文献中发现有“数学归纳法的初始状态无法迭代推论”的错误例子：
图7：错误类型 --- 「数学归纳法的初始状态无法迭代推论」之例 [p.41]
在图 7 之中， 此题目标是证明「任意 n 个人， 生日都同一天“。很明显地， 这是个错误的命题， 因此， 证明过程中必定有误。在第一步骤起始值的部分没问题， 因为一个人的生日当然只有一种。在数学归纳法的归纳步骤中， 这个推理也是正确的， 但必须建立在 k ≥ 2 的前提下。如果《任意两个人的生日是同一天》成立，自然会推导出《任意三个人的生日是同一天》。但是很明显地， 「任何两个人的生日都是同一天」是错误的， 因为在第 3 行中， 如果将 k 替换为 1， 可以看出叙述是不合理的。从《任何一个人的生日都是同一天》不能推断出《任何两个人的生日都是同一天》。因此， 本例的归纳步骤不适用于n=1至n=2。
对定义的误解
此错误类型乃是指学生对于证明中用到的数学定义存在迷思概念，可能是对于符号不清楚或是对定义不了解，例如不会区分属于 ∈ 」与「包含于 ⊂ 」、 不了解自然数的定义、搞混one-to-one与onto性质 ⋯ 。此类型强调的是对符号或定义内容的迷思概念， 而非前四类对证明的迷思概念， 这类型错误较容易出现在证明初学者， 因为初学者的符号、 定义迷思概念较非初学者多。图 8 是文献中发现有“对定义的误解”的错误例子：
图8：错误类型 --- “对定义的误解”之例 [30][p.1115]
图 8 中， 此题目标是证明「函数 f 为 onto“。但学生却证成函数 f 为 one-to-one（最后一行表示学生以为这是 onto 的证法）， 可看出这位学生将 one-to-one 与 onto 的定义混淆， 不清楚专有名词的定义， 自然无法写出正确的证明。
（二） 推导错误类型
推导错误内含三种子类型， 虽然有三种子类型， 但主因均为推导有误， 被归类在推导错误类型之中， 是因为行与行之间的推论错误（包含解释不够清楚）。一言以蔽之， 即证明中前一行或前几行的论述并不能推得下一行[11]。推导错误则是不论在初学者或数学家的证明均有可能发生， 对于子类型的详述如下：
认知差距
「认知差距」意指证明过程中从上一行推到下一行， 被认为需更加详细说明。「认知差距」的特色是若单看逻辑推论过程， 是正确的， 也会符合题目要求， 被认为「错误」的原因是两行之间的关连若无解释是不够清楚的。因此， 若有的读者认为两行之间关连是不需解释也可以明显推得， 那么该读者便不会认为有错误。「认知差距」是少数让有些读者会觉得错误、 有些读者会觉得正确的类型， 端看该读者认定行与行之间的推导关系有无交代清楚。然而， 写出「认知差距」的作者不同， 是学生抑或是学者， 其背后的原因也不太一样。学生写出让教师认为有「认知差距」的内容， 多半是教师觉得学生这句推论解释得不够清楚， 或是学生证明到一半， 发现不知如何推到结论， 便直接将结论写在下一行， 形成一个看起来逻辑无误的证明。若是学者写出的「认知差距」， 通常有两种原因， 一是在课本中为了使读者多动脑思考， 让读者对于证明文本更有参与感[17] ; 另一是学者本身认为此推论是显而易见的。Inglis 等[11] 认为「认知差距」常常出现在课本或是期刊中， 便是此缘故。而本研究所探讨的「认知差距」专指由学生产生的， 图 9 是文献中发现有「认知差距」的错误例子：
图9：错误类型 --- 「认知差距」之例 [22][p.17]
在图 9 之中， 此题目标是证明「若为 3 的倍数， 则 n为3的倍数“。证明过程仅由”nn=3x」便得到「3|n」。虽然由逻辑推论的观点是正确的， 然而， 此命题要考的即为说明如何从”3|」得到「3|n」， 但学生却没有把原因详细说出， 故此题错在解释不够清楚。前一段落提过「认知差距」类型的错误可能会有读者觉得正确， 文献的实征资料也印证了这个观点。由于样本若为证明确认能力较不足的学生， 在结果印证上可能会较存疑， 有可能被认为是能力不足而将此类型错误判断成正确， 因此只寻找专家样本的资料。在 Inglis 与 Alcock[10] 的研究中， 找了 12 位数学家对于此证明进行证明确认， 竟有 5 位认为此证明有效， 7 位认为无效。可见此类型错误， 即便是数学家， 也可能因人而异地有不同判断。
性质或定理误用
「性质或定理误用」意指证明过程中推论到某一行是错误的， 其推论的因果关系不成立， 原因为错误使用性质或定理。「性质或定理误用」与「认知差距」的差别在于：「认知差距」的推论正确， 但需要详述的理由没有写出， 而「性质或定理误用」是推论错误。虽然有错误出现， 便能以迷思概念来解释， 此处可看成对于性质或定理的迷思概念， 但有别于前面所提专指定义或证明架构的迷思概念类型， 此处强调的是推论上的错误。图 10 是文献中发现有“性质或定理误用”的错误例子：
图10：错误类型 --- “性质或定理误用”之例[3] [p.128]
图 10 中， 此题目标是证明「当n趋近于无穷大时，也会趋近于无穷大“。证明过程在出现性质或定理误用之前有包含其他错误， 例如：第一行”」， 此式并非总是正确， 需要对于a,b,m定义清楚， 为「出现未声明变量」类型错误; 对于第三行的n，未说明属于哪个集合， 也是「出现未宣告变量」类型错误。虽然前三行的推论有瑕疵， 但第三行的性质”」是正确的， 而在第三行「」 推论到第四行当n趋近于无穷大时，也会趋近于无穷大时， 便出现「性质或定理误用」。因为”」仅能说明在自然数定义域上是递增函数， 但递增不一定发散（例如令。f在上为递增函数， 但并不会发散至无穷大， 而是收敛到 0）， 因此为「性质或定理误用」。迷思概念类型的错误是强调连定义都不了解， 而「性质或定理误用」是对于性质、定理的错误使用， 以此例来说， 便是学生误以为有「递增函数一定发散」的性质， 导致错误推论。
考量情况未完整
「考量情况未完整」意指证明过程中推论到某一行是错误的， 其推论的因果关系不成立， 原因为在推论时以分类讨论， 但却漏了某些情况而导致推导错误。「考量情况未完整」与「性质或定理误用」的差别在于：「性质或定理误用」强调推论过程使用了错误的性质或定理，而在推论过程若有分类且有遗漏的情况，则属于「考量情况未完整」，此处特别强调是分类不够完整。图 11 是“考量情况未完整”之例：
图 11 是考量情况未完整之例。在第5行中， ” k , k 2 , k 4 并非都是质数是指 k , k 2 , k 4 中至少有一个不是质数， 但是在第 6、 7 和 8 行中， 学生认为至少有一个是质数， 缺少考虑” k , k 2 , k 4 都是合数“。虽然可能会有读者认为该学生错误解读” k , k 2 , k 4 并非都是质数“。若是至少有一个不是质数， 在分类时应该是分别讨论 k 不是质数、 k 2 不是质数、 k 4 不是质数， 而非该学生分类的 k 为质数、 k 2 为质数、 k 4 为质数。然而， 我们可以试想一种情境， 如果今天是学生拿着这份答案来询问为何有错？单纯只回答「因为学生想法解读有误」， 好像不是一个准确的回答。就好像要如何说命题是错的， 举反例是最直接指出错误的方法， 通常不会去质疑错误命题的想法。因此， 对于图 11 之例， 要如何回应学生的
图11：错误类型 --- 「考量情况未完整」之例
错误何在？单纯要找证明内容出现的瑕疵， 最直接的就是「这样的分类讨论会少讨论到 k , k 2 , k 4 都是合数」， 这也是研究者将此例作为考量情况未完整范例之原因。
当然， 若是从教学的角度思考， 在提出此证明错误之处后， 就可以再跟学生提醒犯错的起源 ：学生解读叙述” k , k 2 , k 4 并非都是质数的错误。这样一来学生就能知道， 从证明内容来看， 为什么这不是一个正确的证明（因为某些情况没有讨论到）， 以及为什么会导致这样的内容出现（因为解读叙述错误）。
（三） 其他类型
其他一类意指较不合适使用迷思概念或是推导错误来解释证明错误发生之原因， 考量到学生所书写出的证明， 的确有发生这类错误之可能性， 故研究者特别建此分类。其他类型的证明错误内含两种子类型， 对于子类型的详述如下：
无逻辑性推论错误
「无逻辑性推论错误」意指证明过程出现推论错误， 但其推论所使用的因果关系异于一般会出现的理由， 甚至可说是将毫无关连的两件事当成因果。此类型错误常见于学生在不会书写证明时， 只好随意将不相干的事实或性质凑在一起。「无逻辑性推论错误」与「性质或定理误用」、「考量情况未完整」的差别在于：「性质或定理误用」是误用了不合适的定理或是错误的性质， 而「考量情况未完整」 专指证明过程中分情况讨论， 却遗漏了某些状况没提及， 但「无逻辑性推论错误」则是文中呈现的因果关系悖离合理性， 甚至会让读者觉得作者乱写。图 12 是文献中发现有“无逻辑性推论错误”的错误例子：
图12：错误类型 --- “无逻辑性推论错误”之例 [22][p.12]
在图 12 之中， 此题目标是证明「若为 3 的倍数， 则 n为3的倍数“。在证明叙述的第一行提及假设为可被 3 整除的正奇数」， 但在第二行却忽然写出”」的叙述。其一是这两行无法对应， 第二行与第一行存在矛盾; 其二是第二行的叙述没有解释为何n可以被 3n 1取代。突然出现第二行的式子， 会让读者摸不着头绪， 因为”」使用了同样的变数 n， 一般会出现这样的式子只有两种可能（合理的）：一是探讨数学的方程式， 另一是写程序时的叙述。但在此处， 都与这两种可能相去甚远， 因此被归类于「无逻辑性推论错误」。而此例在后续的讨论也是犯了同样的错误， 在假设为可被 3 整除的正偶数」的情况中，写到”」， 一样会让人摸不着头绪， 而之后的「因为 ， 推得n为 3 的倍数」， 都是无逻辑性也是悖离合理性的错误。
10.笔误、 计算错误
「笔误、计算错误」意指证明过程中发生错误的原因来自笔误或计算错误， 虽然证明较着重逻辑推导关系正不正确， 但笔误或是计算错误也可能是导致证明出错的原因。此类型错误常见于计算类型的证明之中， 例如图 8 之例需对函数做计算， 在移项或是处理分母时， 便有出现计算错误的可能。而笔误、计算错误与其他类型错误的差别在于：笔误、计算错误有可能只是整篇证明中的小瑕疵，经过简单修正之后或许能得到正确的证明， 而其他类型错误的修正可能需要大幅度更动， 例如「认知差距」需要多加解释; 「性质或定理误用」需要改用正确的性质或定理; 「考量情况未完整」需要补足当初漏掉的情况。如果只探讨证明有误的情形（命题正确）， 表示证明书写的结果看似会符合命题（但过程有瑕疵）， 「笔误、 计算错误」在此处算是小错误。但如果是探讨命题可能有误的情形， 当觉得命题错误时需在书写过程提出反例，那「笔误、 计算错误」就会是很严重的错误。因为反例只要一个就能推翻命题， 而笔误或计算错误可能会产出一个自以为是反例的结果。
三、结论与建议本文介绍并分类了不同类型的证明错误。对于读者或数学教育工作者来说， 了解证明错误类型的好处在于：在书写数学证明时更不容易犯错， 并且可以为大学教师确认学生的证明和设计教材提供参考。例如证明确认的学习任务， 证明确认即判断证明的正确性[17] ， 给定一个命题与已经写好的证明过程， 但证明过程正确与否为未知。任务参与者需在阅读证明过程后， 去进行判断， 确认该证明过程是否正确符合证明命题， 可否为证明命题之证明[22] 。如果教师想设计一个证明确认的学习任务， 并且题材默认是无效证明， 教师就可以从这些错误类型介绍中选择自己希望出现在试题中的错误类别， 然后再设计任务的证明内容。
需特别注意的是， 在使用本文的分类审查证明错误时， 读者需要注意在证明中发生的错误可能包含一种或多种错误类型。例如图 13 是文献中一个证明有两个错误的说明：
图13：一个证明中出现两种错误类型之例[30] [p.1114]
在图13之中， 此命题的目标是证明函数 f 为one-to-one“。第1行的 a 1 和 a 2 出现时没有宣告， 此例恰能表现出学生对于未宣告变量的错误理解， 进而导致证明不正确。如果有宣告， 其实此例停在第 4 行就可以得证函数 f 为 one-to-one。但从第 5 行开始的书写过程， 可看出学生并不清楚和的含意， 反而将数字代入而得到函数 f 不为 one-to-one 的错误结论。单纯由此例看来， 这位学生可能不知道如何证明一个函数是 one-to-one。因此， 本例中出现了两种错误类型：「出现未宣告变量」、「对定义的误解」。
本文提供相对于过往文献较完整分类之证明错误类型介绍， 同时兼具宏观性与微观性， 在三大分类之下还细分不同子类型， 希望能提供给读者更方便地进行错误类型说明和文本设计。表 2 是将绪论中提及过往文献曾描述之错误类型归类至本文分类， 显示本文之分类考量的确涵盖这些文献之错误类型。
表2：证明错误类型与过往文献曾提及错误对照表
值得一提的是， 本文所提供的证明错误分类， 仅仅以证明成品来分类， 不一定能完全反映写证明作者之想法， 不宜过度推论。例如遇到可能对应多种类别的错误时， 其产生原因只有原作者知道， 需要进一步访谈才能确定真正的原因为何。而对于未来的相关研究方面， 今后可进一步对错误分类进行研究， 比较不同类型的错误， 探讨面对不同错误类型， 学生的表现有无不同？或是从学习的角度切入， 对产生不同类型错误的学生提出相关的学习建议。
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