素材 如图1，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连结DE、DF．求证：DE＝DF，DE⊥DF．
解析 本题是初中数学中的一道典型题目，证明的方法也很多，这里只展示其中的一种方法：
如图2，取AC、BC中点M、N，连结MD、ND，EM、FN．
经过提炼我们不难看出，这道题实际上是研究以一个三角形的两边为斜边分别作等腰直角三角形，这个三角形第三边的中点与两等腰直角三角形的直角顶点之间的两条线段具有怎样的数量和位置关系？
接下来，我们一起鉴赏本试题经过“变脸”后的多种形式．
例1 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
●操作发现 在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图3所示，其中DF上AC于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是____（填序号即可）
①AF＝AG＝AB/2；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB．
●数学思考 在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图4所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
●类比探究 在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图5所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断MED的形状．
答：_______．
评析 本题在原素材的基础上，变成了由三个具有递进层次（从特殊到一般）的小问题构成的新情境探究题．第一个小问题到第二个小问题的变化是，等腰三角形△ABC→任意△ABC(形状变化)；第二个小问题到第三个小问题的变化是，向△ABC的外侧作等腰直角三角形→向△ABC的内侧作等腰直角三角形（位置变化）．这道中考题改编的手法是改变原素材的条件，而原素材的结论不变．这样改编的效果是在增加问题厚度的同时，有效地降低了试题的难度，减缓了试题的坡度，使不同程度的学生都能有所收获．
例2已知两个有一个公共顶点的等腰Rt△ABC．Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连结AF，M是AF的中点，连结MB、ME．
(2)如图6，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的长；
(3)如图7，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME．
评析 和原素材相比，本题图6的变化有两点：一是等腰Rt△ABC，等腰Rt△CEF都在△ACF的内侧；二是其中两腰在同一条直线上（CB与CE在同一直线上），然后在这种特殊位置下分别探究第(1)(2)问中线段的位置关系和数量．改编后的题目增加了对平行线和几何图形中计算能力的考察，使原问题在横向上得到了引申，体现了知识之间的内在联系．图7在图6的基础上，其中一个三角形绕点C进行了旋转，进而探究BM和ME数量关系．实际上(3)问中“∠BCE＝45°”这个条件是多余的，我想命题者之所以这样做，可能只是为了降低试题的难度，不过本题作为一道压轴题，不给这个条件，个人认为可更有效地增加问题的区分度．
例3 在图8至图10中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
(1)如图8，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM＝MH，FM⊥MH；
(2)将图8中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图9，求证：△FMH是等腰直角三角形；
(3)将图9中的CE缩短到图10的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
评析 本题仍是一道由三个小问题组成的探究证明题，表面上看它和原素材风马牛不相及，实质上两者却紧密相关，以图9为例，如果我们分别连结AF，CF，CH，EH，这样一来，我们很容易发现ü，由△ACE，等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形CHE组成的原素材的图形结构，利用原素材的证明思路可以很快解决，命题者把其巧妙的“移植”到其它的图形中，充分体现了命题者的功力，实属一道好题．
例4 如图11，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a子点M，CN⊥直线a于点N，连结PM、PN；
(1)延长MP交CN于点E，如图12．
①求证：△BPM≌△CPE；
②求证：PM＝PN；
(2)若直线a绕点A旋转到图13的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状，此时PM＝PN还成立吗？不必说明理由．
评析 通过对图11、图12和图13的观察，我们可以发现Rt△AMB和Rt△CAN是以△ABC的AB、AC为直角边的两个相似三角形．和原素材相比的变化是：由两个相似的等腰直角三角形变为两个相似的任意直角三角形，这样的引申使问题更加一般化，更加关注对问题实质的进一步挖掘，同时也丰富了解决问题的方法．
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